令和5年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問16

システムの稼働率とは

複数の装置を組み合わせたシステムの稼働率は、接続方法によって以下のように計算します。

• 直列接続: すべての装置が稼働しているときのみシステムが稼働します。稼働率は各装置の稼働率の積で求めます。
• 並列接続: 少なくとも1つの装置が稼働していればシステムが稼働します。稼働率は「 $1 - (\text{全装置が同時に故障する確率})$ 」で求めます。

正解の根拠

各装置 X、Y、Z の稼働率をそれぞれ $x$、$y$、$z$ とします。問題文の条件より、$0 < x < 1$、$0 < y < 1$、$0 < z < 1$ です。

システムAとシステムBの構成から、それぞれの稼働率を計算して比較します。

システムAの稼働率

システムAは、装置Xと装置Yが並列に接続されており、その並列部分全体に対して装置Zが直列に接続されています。
まず、XとYの並列部分の稼働率を求めます。

$1 - (1 - x)(1 - y) = x + y - xy$

次に、この並列部分にZが直列に接続されているため、システムA全体の稼働率（ $R_A$ ）は以下のようになります。

$R_A = (x + y - xy)z = xz + yz - xyz$

システムBの稼働率

システムBは、装置Xと装置Zが直列に接続されており、その直列部分全体に対して装置Yが並列に接続されています。
まず、XとZの直列部分の稼働率を求めます。

$xz$

次に、この直列部分にYが並列に接続されているため、システムB全体の稼働率（ $R_B$ ）は以下のようになります。

$R_B = 1 - (1 - xz)(1 - y)$

$R_B = 1 - (1 - y - xz + xyz)$

$R_B = xz + y - xyz$

稼働率の比較

$R_B$ と $R_A$ の差を計算します。

$R_B - R_A = (xz + y - xyz) - (xz + yz - xyz)$

$R_B - R_A = y - yz$

$R_B - R_A = y(1 - z)$

ここで、$y$ と $z$ はともに $0$ より大きく $1$ より小さい値であるため、$y > 0$ かつ $1 - z > 0$ となります。
したがって、$y(1 - z)$ は常に正の値になります。

$R_B - R_A > 0$

より、常に $R_B > R_A$ （システムBの稼働率の方が高い）が成り立ちます。

各選択肢の解説

• ア: 常にシステムBの稼働率の方が高くなるため、各装置の稼働率の値によって変化することはありません。

• イ: 両者の差は $y(1 - z)$ となり、稼働率が $0$ や $1$ ではないため、常に等しくなることはありません。

• ウ: 計算結果が示すとおり、システムAの稼働率がシステムBを上回ることはありません。

• エ: 計算結果が示すとおり、常にシステムBの稼働率はシステムAより高いため、正解です。