令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問25

標本化定理（サンプリング定理）に基づき、必要なサンプリング周期を計算します。

1. 最小サンプリング周波数の算出

標本化定理によれば、アナログ信号をデジタル信号に変換し、後から元の信号に完全に復元するためには、元の信号に含まれる最大周波数の2倍以上の周波数でサンプリングを行う必要があります。
この信号の最大周波数は $20\text{ kHz}$ です。したがって、必要な最小サンプリング周波数 $f_s$ は以下のようになります。
$$f_s = 20\text{ kHz} \times 2 = 40\text{ kHz} = 40,000\text{ Hz}$$

2. 最大サンプリング周期の算出

サンプリング周期 $T$ は、サンプリング周波数 $f_s$ の逆数（$T = 1 / f_s$）で求められます。最小の周波数でサンプリングしたとき、周期は最大となります。
$$T = \frac{1}{40,000}\text{ 秒} = 0.000025\text{ 秒}$$
これをマイクロ秒（$10^{-6}$ 秒）に変換します。
$$0.000025\text{ 秒} = 25 \times 10^{-6}\text{ 秒} = 25\text{ マイクロ秒}$$
よって、必要な最大のサンプリング周期は $25\text{ マイクロ秒}$ となります。

各選択肢の解説

• ア（2.5）: 誤り。ミリ秒とマイクロ秒などの単位変換や小数点の位置を誤った場合に導かれる数値です。
• イ（5）: 誤り。計算過程で係数や割り算を誤って算出された数値です。
• ウ（25）: 正解。上記の通り、$1 / (2 \times 20\text{ kHz})$ から正しく導出された値です。
• エ（50）: 誤り。標本化定理における「2倍」を考慮せず、そのまま $1 / 20\text{ kHz}$ を計算して $50\text{ マイクロ秒}$ と算出してしまった誤りです。