令和7年度春期応用情報技術者試験午前問1

この問題は2025(R7)春応用情報技術者午前に出題されたものです。出題時点の法令・制度に基づく内容のため、現行の内容と一致しない場合があります。

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論理式 $P$ ， $Q$ がいずれも真であるとき，論理式 $R$ の真偽にかかわらず真になる式はどれか。ここで，“¯”は否定を，“ $\lor$ ”は論理和を，“ $\land$ ”は論理積を，“ $\to$ ”は含意（“真 $\to$ 偽”となるときに限り偽となる演算）を表す。

ア.

((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})

イ.

((P \to Q) \land (\overline{Q} \to \overline{P})) \to (Q \to R)

ウ.

((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})

エ.

((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to \overline{P})) \to (Q \to R)

解答・解説を読む

正解: 選択肢エ

本問は、論理演算における含意（ $A \to B$ ）の性質を理解しているかを問う問題です。

含意の性質
$A \to B$ は、「 $A$ が真かつ $B$ が偽」のときのみ偽となり、それ以外（ $A$ が偽の場合や $A, B$ が共に真の場合）はすべて真となります。特に、「前提 $A$ が偽であれば、結論 $B$ の真偽にかかわらず全体は真になる」という性質が重要です。

与えられた条件より、 $P$ と $Q$ はともに真（ $T$ ）です。
したがって、 $\overline{P}$ と $\overline{Q}$ はともに偽（ $F$ ）となります。

各選択肢の解説

ア: $((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})$ $((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (R \to Q)$
- 左辺: $(T \to T) \land (T \to T) = T \land T = T$
- 右辺: $R \to F$
- 全体: $T \to (R \to F)$
- $R$ が真（ $T$ ）のとき、右辺は $T \to F = F$ となり、全体は $T \to F = F$ （偽）となります。したがって、 $R$ の真偽にかかわらず真とはなりません。
イ: $((P \to Q) \land (\overline{Q} \to \overline{P})) \to (Q \to R)$ $((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (Q \to R)$
- 左辺: $(T \to T) \land (F \to F) = T \land T = T$
- 右辺: $T \to R$
- 全体: $T \to (T \to R)$
- $R$ が偽（ $F$ ）のとき、右辺は $T \to F = F$ となり、全体は $T \to F = F$ （偽）となります。したがって、 $R$ の真偽にかかわらず真とはなりません。
ウ: $((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})$ $((P \to Q) \lor (Q \to P)) \to (R \to Q)$
- 左辺: $(T \to F) \lor (T \to T) = F \lor T = T$
- 右辺: $R \to F$
- 全体: $T \to (R \to F)$
- アと同様に、 $R$ が真（ $T$ ）のとき全体は偽となります。
エ: $((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to \overline{P})) \to (Q \to R)$ $((P \to Q) \lor (Q \to P)) \to (Q \to R)$
- 左辺: $(T \to F) \lor (T \to F) = F \lor F = F$
- 右辺: $T \to R$
- 全体: $F \to (T \to R)$
- 含意において、「左辺が偽（ $F$ ）」である場合、右辺の真偽にかかわらず式全体は必ず真（ $T$ ）になります。よって、 $R$ の真偽にかかわらず常に真となります。（正解）