令和7年度 秋期 プロジェクトマネージャ試験 データベーススペシャリスト試験 エンベデッドシステムスペシャリスト試験 システム監査技術者試験 情報処理安全確保支援士試験 午前Ⅰ 問題【共通】 問1

M/M/1の待ち行列モデルにおいて、平均待ち時間を求める公式は以下の通りです。

$$W = \frac{\rho}{1 - \rho} \times T_s$$

ここで、$W$ : 平均待ち時間、$\rho$ : システムの利用率、$T_s$ : 平均サービス時間（1件の処理時間）です。

問題文より、平均サービス時間は $T_s = T$ 秒です。このとき、平均待ち時間 $W$ が $T$ 秒以上となる条件を求めます。

$$\frac{\rho}{1 - \rho} \times T \ge T$$

$T > 0$ であるため、両辺を $T$ で割ると以下の不等式になります。

$$\frac{\rho}{1 - \rho} \ge 1$$

両辺に $1 - \rho$（$\rho < 1$より正の数）を掛けて解くと、$\rho \ge 1 - \rho$、すなわち $2\rho \ge 1$ となり、$\rho \ge 0.5$ が導かれます。

したがって、システムの利用率が少なくとも50%以上となったときに、平均待ち時間が $T$ 秒以上となります。

各選択肢の解説

• ア 33: 誤り。利用率が33%（約 $1/3$）の場合、平均待ち時間は $\frac{1/3}{1 - 1/3} \times T = 0.5T$ となり、$T$ 秒に満たないため不適切です。

• イ 50: 正解。利用率が50%（$1/2$）のとき、平均待ち時間は $\frac{1/2}{1 - 1/2} \times T = T$ となり、条件を満たします。

• ウ 67: 誤り。利用率が67%（約 $2/3$）の場合、平均待ち時間は $\frac{2/3}{1 - 2/3} \times T = 2T$ となります。少なくとも何%以上かという問いに対しては過剰な値です。

• エ 80: 誤り。利用率が80%（$4/5$）の場合、平均待ち時間は $\frac{4/5}{1 - 4/5} \times T = 4T$ となります。こちらも条件を満たす最小の値ではありません。