平成29年度 秋期 システムアーキテクト試験 午前Ⅱ 問20

問題文で与えられたアムダールの法則を表す式に、それぞれの条件を代入して方程式を立てます。

高速化率 $E$ の式は以下の通りです。
$$E = \frac{1}{1 - r + \frac{r}{n}}$$

1. $r = 0.9$ のときの高速化率 $E_{0.9}$
   $$E_{0.9} = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{n}} = \frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}}$$

2. $r = 0.3$ のときの高速化率 $E_{0.3}$
   $$E_{0.3} = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{n}} = \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}$$

「$r = 0.9$ のアプリケーションの高速化率が $r = 0.3$ のものの3倍となる」という条件から、次の等式が成り立ちます。
$$E_{0.9} = 3 \times E_{0.3}$$

これにそれぞれの式を代入して $n$ について解きます。
$$\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}} = 3 \times \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}$$

両辺の逆数をとって整理すると（または両辺に分母を掛けると）、
$$0.7 + \frac{0.3}{n} = 3 \left( 0.1 + \frac{0.9}{n} \right)$$
$$0.7 + \frac{0.3}{n} = 0.3 + \frac{2.7}{n}$$

移項してまとめます。
$$0.7 - 0.3 = \frac{2.7}{n} - \frac{0.3}{n}$$
$$0.4 = \frac{2.4}{n}$$
$$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$$

したがって、プロセッサが 6台 のときであり、正解は エ です。

各選択肢の解説

• ア（3）: $n = 3$ を代入すると、$E_{0.9} = \frac{1}{0.1 + 0.3} = 2.5$、$E_{0.3} = \frac{1}{0.7 + 0.1} = 1.25$ となり、高速化率は2倍にしかなりません。
• イ（4）: $n = 4$ を代入すると、$E_{0.9} = \frac{1}{0.1 + 0.225} = \frac{1}{0.325}$、$E_{0.3} = \frac{1}{0.7 + 0.075} = \frac{1}{0.775}$ となり、3倍にはなりません。
• ウ（5）: $n = 5$ を代入すると、$E_{0.9} = \frac{1}{0.1 + 0.18} = \frac{1}{0.28}$、$E_{0.3} = \frac{1}{0.7 + 0.06} = \frac{1}{0.76}$ となり、3倍にはなりません。
• エ（6）: 正解です。$n = 6$ を代入すると、$E_{0.9} = \frac{1}{0.1 + 0.15} = 4$、$E_{0.3} = \frac{1}{0.7 + 0.05} = \frac{4}{3}$ となり、ちょうど3倍になります。